Disequazioni razionali fratte

Dati due polinomi a coefficenti reali, nella variabile reale x, , si dice disequazione razionale fratta una disequazione del tipo:

Il problema dunque consiste nel determinare i numeri reai , se esistono, per cui il rapporto fra i due polinomi definito per sia positivo (risp. negativo).

Notiamo che il problema posto è equivalente alla seguente disequazione:

Segue allora, che il problema (1), ovvero il problema (2), è equivalente ai due sistemi:

Detti rispettivamente gli insiemi delle soluzioni della (1), del sistema (I) e del sistema (II), si ha pertanto:

Sistemi di disequazioni razionali

Risolvere un sistema di disequazioni di questo tipo:

dove sono polinomi a coefficenti reali nella variabile , significa risolvere indipendentemente le disequazioni e trovando rispettivamente le soluzioni e . La soluzione del sistema è data da:

Se , il sistema si dice impossibile.

Disequazioni di grado superiore al secondo

Sia da risolvere una disequazione del tipo:

.

Per risolvere una disequazione di questo tipo, requisito fondamentale è che il polinomio sia scomposto in fattori di I e II grado (per fare ciò dunque, bisogna applicare le regole di fattorizzazione di un polinomio attraverso la ricerca delle sue radici utilizzando ad esempio la regola di Ruffini). Detto questo consideriamo gli eventuali numeri che annullano almeno uno dei fattori, rappresentiamo su una retta orientata questi valori ed esaminiamo il segno complessivo del polinomio in ciascuno degli intervalli scaturiti dallo studio dei fattori di di I e II grado.

Ecco un esempio.

Supponiamo di voler risolvere la seguente disequazione:

Osserviamo che la disequazione proposta è certamente di grado maggiore a due (infatti è di sesto grado) e che è già scomposta in fattori. Analizziamo singolarmente i fattori come in una normale disequazione.

• Il primo fattore , risulta positivo per e negativo per




• Il secondo fattore risulta essere positivo per




• Il terzo fattore , è positivo per e negativo per

La disequazione ha quindi segno positivo nei seguenti intervalli (la determinazione di questi intervalli è facilitata dallo studio grafico del segno attraverso la retta orientata):

è la soluzione della disequazione.

Disequazioni razionali di secondo grado

Abbiamo visto come risolvere una disequazione di primo grado. Il nostro prossimo passo è quello di definire delle regole di risoluzione di disequazione di grando uguale a due. Una disequazione di secondo grado si presenta in questa forma:

(1)

con .

Caratteristica di un polinomio di secondo grado è il suo discriminante :

Dette , con , le radici del polinomio associato alla disequazione (1), le soluzioni della disequazione di secondo grado dipendono dal valore di in questo modo:

Disequazioni razionali di primo grado

Introduzione
In matematica, una disequazione è una relazione di disuguaglianza tra due espressioni che contengono delle incognite. Risolvere una disequazione significa trovare quell’insieme di valori che, attribuiti alle incognite, la rendono una disuguaglianza effettivamente verificata. Solitamente, le soluzioni di una disequazione sono costituite da uno o più intervalli di valori.

Il grado di una disequazione è dato dal grado dell’incognita.

Risolvere quindi una disequazione razionale di primo grado significa ricercare quel numero reale , tale che:

(1)

con .

Soluzione
Un numero reale , tale che:

si dice soluzione della (1).

In base al segno di si ottengono le seguenti soluzioni:

• Se , la (1) è verificata  per i numeri reali tale che:

  

• Se , la (1) è verificata  per i numeri reali tale che: